2023 Autors: Bryan Walter | [email protected]. Pēdējoreiz modificēts: 2023-05-21 22:28
Grāmatā Šī dīvainā matemātika. Uz bezgalības robežas un ārpus tās "(izdevniecība Corpus), ko krievu valodā tulkojis Aleksejs Gluščenko, astronoms Deivids Dārlings un matemātiķe Agnijo Banerjē runā par to, kā pirmskaitļu, bezgalības un haosa matemātiskajiem pētījumiem ir sakars ar reālo problēmām pasaule - un runāt par to, kur mums tuvākajā laikā vajadzētu sagaidīt jaunus atklājumus. N + 1 aicina savus lasītājus izlasīt fragmentu par bezgalības izpēti un zinātnieku sasniegtajiem rezultātiem šajā jomā.
Jūs nevarat tur nokļūt no šejienes
Bezgalīgais matemātikā vienmēr ir nekontrolējams
līdz sākat pareizi rīkoties.
Džeimss Ņūmens
Es nevaru sev palīdzēt - pret manu gribu
bezgalība mani moka.
Alfrēds de Musets
Vai telpai ir robeža? Vai laikam bija sākums un vai tas kādreiz beigsies? Vai ir lielākais skaits? Pat bērnībā mēs uzdodam šādus jautājumus. Agrāk vai vēlāk jebkurai personai rodas interese par bezgalību. Bet bezgalība nav kaut kāds neskaidrs un neskaidrs jēdziens, bet gan stingras izpētes objekts. Un šo pētījumu rezultāti dažkārt ir tik paradoksāli, ka tiem ir grūti noticēt.
Neierobežots ir filozofu, teologu un mākslas kritiķu diskusiju priekšmets. Amerikāņu džeza ģitārists un komponists Pat Matini reiz teica: "Mūziķos es meklēju bezgalības sajūtu." Angļu dzejnieks un mākslinieks Viljams Bleiks uzskatīja, ka mūsu sajūtas neļauj mums novērtēt lietu patieso dabu un ka "ja tiek iztīrītas uztveres durvis, viss esošais cilvēkam parādīsies tāds, kāds tas ir - bezgalīgs". Franču rakstnieks Gustavs Flauberts brīdināja par briesmām, kas sagaida tos, kas par to pārāk daudz domā: "Jo tuvāk bezgalībai, jo vairāk grimst šausmās."
Arī zinātniekiem ik pa laikam nākas saskarties ar bezgalību, un šīs tikšanās ne vienmēr ir patīkamas. 30. gados teorētiskie fiziķi, pētot elementārdaļiņu īpašības, atklāja, ka aprēķinos iegūtās vērtības piepūšas līdz bezgalībai vai, citiem vārdiem sakot, mēdz uz to. Tas notika, piemēram, kad elektronu rādiuss tika pieņemts kā nulle, kā tas izrietēja no elektronu-elektronu izkliedes eksperimentu rezultātiem. Aprēķini parādīja, ka daļiņu ieskaujošā elektriskā lauka enerģija šajā gadījumā ir bezgala liela, kas ir absurdi. Galu galā no neskaidrībām izvairījās matemātisks triks, ko sauc par renormalizāciju. Mūsdienās tas ir standarta triks kvantu mehānikā, lai gan daži fiziķi joprojām ir apjukuši tā patvaļīgā rakstura dēļ.
Tagad redzēsim, kas notiek fiziskās skalas otrā galā. Kosmologus interesē, vai Visuma lielums ir ierobežots, vai tas stiepjas bezgalīgi visos virzienos. Šodien mēs to vienkārši nezinām. Visuma daļa, ko mēs varam redzēt (vismaz principā) - tā sauktais novērojamais Visums - ir aptuveni 92 miljardu gaismas gadu platumā, kur gaismas gads ir attālums, ko gaisma veic viena gada laikā. Novērotais Visums ir tā daļa no visa Visuma, no kuras gaisma kopš Lielā sprādziena ir spējusi sasniegt Zemi. Ārpus tās var būt daudz lielāka, iespējams, bezgalīga telpa, kuru mēs vienkārši nevaram sasniegt.
Kopš Einšteins izstrādāja vispārējo relativitāti, mēs zinām, ka telpa, kurā mēs dzīvojam, var būt izliekta, tāpat kā, piemēram, sfēras virsma ir izliekta - vienīgā atšķirība ir tāda, ka mūsu telpai ir trīs dimensijas, nevis divas. Lai to izteiktu stingrākā valodā, telpa-laiks (un tie ir nesaraujami saistīti viens ar otru) ne vienmēr ievēro ģeometrijas noteikumus, kas mums pazīstami no skolas. Mēs noteikti zinām, ka vietējā mērogā telpas-laiks ir izliekts: ap visiem objektiem ar masu, piemēram, Sauli vai Zemi, tas saliecas kā gumijas loksne, ja uzliekat tai slodzi. Bet vai viss Visums ir izliekts (neeiklīda) vai plakans, mēs vēl nezinām. Kosmologus tas ļoti interesē, jo tā liktenis galu galā ir atkarīgs no Visuma formas.
Ja Visums ir izliekts globālā mērogā, tad tam var būt slēgta forma - piemēram, sfērai vai virtulim. Tad tā izmērs būs ierobežots, lai gan tas joprojām nedarbosies, lai sasniegtu pagrieziena punktu vai malu, lai kā jūs censtos. Vēl viena iespēja ir Visums sava veida seglu veidā, kas turpinājās bezgalīgi tālu. Šajā gadījumā tas var būt vai nu "atvērts" un bezgalīgi paplašināties, vai arī tam joprojām ir ierobežots izmērs. Turklāt Visums kopumā var būt plakans - un atkal vai nu galīgs, vai bezgalīgs. Neatkarīgi no tā, kura no iespējām izrādīsies patiesa, ja sākumā Visumam bija ierobežots izmērs, tad tas tāds arī paliks (lai gan tas var turpināt augt), un, ja tas ir bezgalīgs, tad tas vienmēr ir bijis šāds.
Ideja, ka Visums vienmēr ir bijis bezgalīgs, no pirmā acu uzmetiena ir pretrunā ar vispārpieņemto Lielā sprādziena teoriju, saskaņā ar kuru matērijas un enerģijas izplešanās notika no reģiona, kas sākotnēji bija daudz mazāks par atoma lielumu. Bet patiesībā nav pretrunu: šis sākotnēji mazais reģions iemiesoja tikai novērojamā Visuma lielumu (to, ko nosaka attālums, ko gaisma spēja pārvarēt) sekundes daļu pēc Lielā sprādziena. Visums kopumā varēja būt bezgalīgs no paša sākuma, lai gan to nebūtu bijis iespējams redzēt. Ka to, ka otru variantu - gan bezgalīgo telpā un laikā Visumu, gan galīgo - nav tik viegli aptvert ar prātu, bet, iespējams, tomēr ir grūtāk iedomāties galīgo Visumu. Kā rakstīja filozofs Tomass Peins: “Ir neaprakstāmi grūti saprast, ka telpai nav gala, bet vēl grūtāk ir saprast tās galīgumu. Virs cilvēka spēka saprast mūžīgo tā dēvētā laika apjomu, bet vēl jo vairāk nav iespējams iedomāties laiku, kad nebūs laika."
Līdz šim astronomu apkopotie dati no tālu galaktiku pētījumiem liecina, ka Visums ir plakans un bezgalīgs. Tomēr tas, ko īsti nozīmē vārds "bezgalīgs" attiecībā uz telpu un laiku reālajā Visumā, nav pilnīgi skaidrs. Mēs nekad nevarēsim ar tiešiem mērījumiem pierādīt, ka telpai un laikam nav gala, jo mēs nekad nevarēsim saņemt informāciju no bezgala tāla attāluma. Vēl viena grūtība ir telpas un laika būtība. Fiziķi uzskata, ka pastāv minimālais iespējamais attālums un minimālais iespējamais laiks, kas attiecīgi pazīstami kā Planka garums un Planka laiks. Citiem vārdiem sakot, telpa un laiks nav nepārtraukti, bet tiem ir kvantēts, granulēts raksturs. Planka garums ir tikai niecīgs, tikai 1,6 × 10–35 metri vai simts vintiljonu protona lieluma. Un Planka laiks, tas ir, laika intervāls, kura laikā gaisma veic attālumu, kas vienāds ar Planka garumu, ir niecīgs - mazāk nekā 10–43 sekundes. Un tomēr, ņemot vērā šo telpas-laika diskrētumu, ir jābūt ļoti uzmanīgiem, runājot par bezgalību fiziskā Visuma kontekstā. Kā atklāja matemātiķi, ne visas bezgalības ir vienādas.
Senie grieķu un indiešu filozofi pirmie pirms diviem tūkstošiem gadu pierakstīja savas domas par bezgalību. Anaksimandrs VI gadsimtā pirms mūsu ēras visu lietu izcelsmes avotu uzskatīja par "apeironu" ("bezgalību"). Gadsimtu vēlāk viņa tautietis Zeno no Elejas (apgabals, kas mūsdienās pazīstams kā Lucania Itālijas dienvidos) vispirms uz bezgalību paskatījās no matemātikas viedokļa.
Zeno bija pirmais, kurš nojauta briesmas, kuras rada bezgalība. Bažas izraisīja viņa aprakstītie paradoksi, no kuriem slavenākajā Ahilejs sacenšas sacīkstēs ar bruņurupuci. Pārliecināts par savu uzvaru, mūsu mītiskais varonis dod bruņurupucim galvu. Bet kā, Zenons jautā, vai Ahilejs var apsteigt nesteidzīgu rāpuli? Galu galā, līdz viņš sasniegs vietu, kur bruņurupucis sāka savu ceļu, tas rāpos uz priekšu. Kad Ahilejs būs šķērsojis jauno attālumu, kas viņus šķir, bruņurupucis būs pavirzījies vēl tālāk. Un tā tālāk, bezgalīgi. Neatkarīgi no tā, cik daudz Ahileja skrien uz vietu, kur bruņurupucis tikko atradies, tas katru reizi varēs iet nedaudz tālāk. Acīmredzot pastāv zināma neatbilstība starp to, kā mēs reizēm iztēlojamies bezgalību, un to, kā viss notiek patiesībā. Pats Zeno bija tik samulsis un neizpratnē par šo un citiem paradoksiem, ka ne tikai nolēma vairs nedomāt par bezgalību, bet arī nonāca pie secinājuma, ka kustība nav iespējama!
Līdzīgu šoku piedzīvoja Pitagors un viņa sekotāji, būdami pārliecināti, ka visu Visumā galu galā var aprakstīt ar veseliem skaitļiem. Galu galā pat parastās daļiņas ir tikai viens vesels skaitlis, dalīts ar citu. Bet kvadrātsakne no 2 - taisnleņķa trīsstūra hipotenūzas garums ar vienu kāju katrā - neiederējās šajā harmoniskajā kosmiskajā shēmā. Tas bija "neracionāls" skaitlis, kas nav izsakāms kā divu veselu skaitļu attiecība. Ja jūs mēģināt to attēlot decimāldaļas formā, decimāldaļu skaits pieaug līdz bezgalībai, un neviena skaidri atkārtota skaitļu grupa nerodas. Pitagorieši nezināja visus šos smalkumus, viņus satrauca tikai tas, ka viņu perfektajā pasaulē ir ielīdis kāds nelietīgs briesmonis kvadrātsaknes 2 formā, un tāpēc viņi rūpīgi slēpa tā esamību.
Šie divi piemēri ilustrē pamata problēmu, kas saistīta ar bezgalības izpratni. Mūsu iztēle viegli tiek galā ar to, kas vēl nav sasniedzis savu galu: mēs vienmēr varam iedomāties, kā jebkurš attālums tiek palielināts par vēl vienu soli, vēl viens tiek pievienots jebkuram priekšmetu skaitam. Bet bezgalība vispārinātā nozīmē kā jēdziens neiederas galvā. Matemātiķi jau sen ar to cīnījušies, jo savā jomā ir pieraduši nodarboties ar precīziem daudzumiem un rūpīgi definētiem jēdzieniem. Un kā jūs varat strādāt ar objektiem, kas noteikti eksistē, bet nekad nebeidzas - ar tādu skaitli kā √2 (sākot ar 1, 41421356237 … un turpinot arvien tālāk un tālāk bez acīmredzamas kārtības un paredzamiem atkārtojumiem) vai ar līkni, kas ir nospiesta pret taisni visu tuvāk un tuvāk - un tajā pašā laikā izvairoties no tikšanās ar bezgalību? Aristotelis ierosināja iespējamo risinājumu, apgalvojot, ka pastāv divu veidu bezgalība. “Faktiskā” (vai “pabeigtā”) bezgalība, kas, pēc Aristoteļa domām, patiesībā nepastāv, ir bezgalība, kas ir pilnībā realizēta, faktiski sasniegta (matemātiski vai fiziski) kādā brīdī. “Potenciālā” bezgalība, kas, pēc Aristoteļa domām, acīmredzami izpaužas dabā - piemēram, gadalaiku bezgalīgajā maiņā vai neierobežotā zelta lietņa dalāmībā (viņš nezināja par atomiem) - ir bezgalība, kas turpinās neierobežotā daudzumā. laiks. Šī fundamentālā atšķirība starp faktisko un iespējamo bezgalību matemātikā pastāv jau vairāk nekā divus tūkstošus gadu.
1831. gadā pats Karls Gauss runāja par “patiesās bezgalības šausmām” šādi:
… Es protestēju pret bezgalīga daudzuma izmantošanu kā pilnīgu daudzumu, kas matemātikā nekad nav atļauts. Bezgalīgais ir tikai façon de parler, bet patiesībā runa ir par robežām, kurām noteiktas attiecības tuvojas patvaļīgai noslēgšanai, bet citām ir atļauts augt bez ierobežojumiem.
* Runas attēls (fr.).
Aprobežojoties ar potenciālās bezgalības izpēti, matemātiķi spēja izstrādāt tādus svarīgus jēdzienus kā bezgalīgas sērijas, ierobežojumi un bezgalīgi mazi daudzumi, tādējādi nonākot pie matemātiskas analīzes, bet neatzīstot bezgalību kā neatkarīgu matemātisku objektu. Un tomēr pat viduslaikos viņi saskārās ar paradoksiem un neatrisināmām problēmām, kas nozīmēja, ka faktisko bezgalību nevar vienkārši atlaist. Šīs neatrisināmās problēmas radās no principa, ka visi vienas objektu kopas elementi var atrast pāri citā tāda paša izmēra objektu komplektā. Bet, kad viņi mēģināja piemērot šo principu bezgalīgi lielām kopām, tas atklāti bija pretrunā ar veselā saprāta ideju, ko vispirms izteica Eiklīds: ka kopums vienmēr ir lielāks par jebkuru tā daļu. Piemēram, šķita pilnīgi iespējams veidot pārus no visiem pozitīviem veseliem skaitļiem un tikai no tiem, kas ir vienādi: iebilst pret vienu līdz diviem, diviem līdz četriem, trīs līdz sešiem utt., Neskatoties uz to, ka pozitīvie veseli skaitļi ietver pat pārāk. Galilejs, kurš pētīja šo problēmu, pirmais ierosināja apgaismotāku pieeju bezgalībai, norādot: "Bezgalībai ir jāpakļaujas citai aritmētikai nekā galīgajiem skaitļiem."
Potenciālās bezgalības jēdziens nomierina mūsu modrību, liekot mums domāt, ka jūs varat pietuvoties bezgalībai - jums vienkārši jāiet tālāk vai jāiet mazliet ilgāk. Un tas nav tālu no plaši izplatītā mīta, ka bezgalība ir tikai kaut kas līdzīgs ļoti lielam skaitlim un triljons vai, teiksim, triljons triljonu triljonu ir kaut kā tuvāk bezgalībai nekā, teiksim, desmit vai tūkstotis. Patiesībā tas tā nav. Neatkarīgi no tā, cik daudz jūs pārvietojaties pa skaitlisko asi, neatkarīgi no tā, cik daudz, jūs nevarat tuvināties bezgalībai. Skaitlis 1 ir tik tālu no bezgalības (vai tik tuvu tam) kā jebkurš cits ierobežots skaitlis, lai arī cik milzīgs mums būtu pieticis iztēles nosaukt. Turklāt jebkurā skaitlī, lai arī cik tas būtu mazs, jau ir bezgalība, tāpēc virzīties uz priekšu, lai arvien vairāk 2 skaitļu 2 tā meklējumos būtu pilnīgi bezjēdzīgs notikums. Būtība ir tāda, ka bezgalība pastāv pat, piemēram, intervālā starp 0 un 1, jo tajā ir bezgalīgi daudz frakciju: ½, ⅓, ¼ utt. Bezgalībai nav nekāda sakara ar milzīgiem galīgiem skaitļiem. Lai ar to strādātu, mums būs jāizlaužas no viņu gūsta, jāpārtrauc to izmantošana kā butaforija mūsu izpratnei.
